Question

17．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的右頂點為A，上、下頂點分別為 B₂、B₁，左、右焦點分別是F₁、F₂，若直線 B₁F₂與直線 AB₂交于點 P，且∠B₁PA為銳角，則離心率的范圍是$0＜e＜\frac{{-1+\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 由題意，∠B₁PA就是$\overrightarrow{{B}_{2}A}$與$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的夾角，設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，則$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=（a，-b）、$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=（-c，-b），由向量的夾角為銳角可得-ac+b²＞0，把b²=a²-c²代入不等式，從而可求橢圓離心率的取值范圍．

解答 解：由題意，∠B₁PA就是$\overrightarrow{{B}_{2}A}$與$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的夾角，
設(shè)橢圓的長半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c，
則$\overrightarrow{{B}_{2}A}$=（a，-b）、$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$=（-c，-b），
由向量的夾角為銳角，知道$\overrightarrow{{B}_{2}A}$與$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的數(shù)量積大于0，
所以有：-ac+b²＞0，
把b²=a²-c²代入不等式得：a²-ac-c²＞0，
除以a²得1-e-e²＞0，
即e²+e-1＜0，解得$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$＜e＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
又0＜e＜1，所以0＜e＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案為：0＜e＜$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用$\overrightarrow{{B}_{2}A}$與$\overrightarrow{{F}_{2}{B}_{1}}$的數(shù)量積大于0，建立不等式，屬于中檔題．