Question

6．銳角△ABC中，其內(nèi)角A、B滿足：2cosA=sinB-$\sqrt{3}$cosB．
（1）求角C的大�。�
（2）D為AB的中點，CD=1，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用特殊角的三角函數(shù)值，兩角差的正弦函數(shù)公式可得cosA=cos（$\frac{5π}{6}$-B），結(jié)合A，B為銳角，利用三角形內(nèi)角和定理可求C的值．
（2）設(shè)∠ACD=α，延長CD到E，使CD=DE，則AEBC為平行四邊形，在△ACE中，由正弦定理可得a=4sinα，b=4sin（$\frac{π}{6}$-α），利用三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得S_△ABC=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求△ABC面積的最大值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵2cosA+$\sqrt{3}$cosB=sinB，可得：cosA=$\frac{1}{2}$sinB-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=cos（$\frac{5π}{6}$-B），…2分
又∵A，B為銳角，
∴0$＜A＜\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$＜$\frac{5π}{6}$-B＜$\frac{5π}{6}$，
∴A=$\frac{5π}{6}$-B，A+B=$\frac{5π}{6}$，可得：C=π-$\frac{5π}{6}$=$\frac{π}{6}$．…5分
（2）設(shè)∠ACD=α，延長CD到E，使CD=DE，
則AEBC為平行四邊形，
在△ACE中，AC=b，AE=BC=α，CE=2，∠CAE=$\frac{5π}{6}$，∠AEC=$\frac{π}{6}$-α，
由正弦定理可得：$\frac{sin（\frac{π}{6}-α）}$=$\frac{a}{sinα}$=$\frac{2}{sin\frac{5π}{6}}$，
所以，a=4sinα，b=4sin（$\frac{π}{6}$-α），…7分
S_△ABC=$\frac{1}{2}$absin∠ABC=$\frac{1}{2}×4sinα×4sin（\frac{π}{6}-α）$sin$\frac{π}{6}$
=4sinα•sin（$\frac{π}{6}$-α）=2sinαcosα-2$\sqrt{3}$sin²α
=sin2α+$\sqrt{3}$cos2α-$\sqrt{3}$=2sin（2α+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，…11分
當(dāng)α=$\frac{π}{12}$時，△ABC的面積取得最大值，最大值為2-$\sqrt{3}$．…12分

點評 本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，兩角差的正弦函數(shù)公式，三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，三角形面積公式，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的性質(zhì)在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，綜合性較強(qiáng)，屬于中檔題．