Question

（2012•東莞二模）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，若E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求證：平面PDC⊥平面PAD．
（3）求四棱錐P-ABCD的體積V_P-ABCD．

Answer 1

分析：（1）連接AC，利用三角形中位線的性質(zhì)，證明EF∥PA，利用線面平行的判定，可得EF∥平面PAD；
（2）面面垂直的性質(zhì)，證明CD⊥平面PAD，進(jìn)而可證平面PAD⊥平面PDC；
（3）先計(jì)算P-ADC的體積，再計(jì)算求四棱錐P-ABCD的體積V_P-ABCD．

解答：（1）證明：連接AC，則F是AC的中點(diǎn)，在△CPA中，EF∥PA，…（2分）
∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD                              …（4分）
（2）證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，…（7分）
又CD?平面PDC，∴平面PAD⊥平面PDC．…（8分）
（3）解：∵PA=PD=

2

2

AD=

2

，∴PA²+PD²=AD²，
∴PA⊥PD，S△PAD=

1

2

(

2

)2=1，…（10分）
又由（2）可知CD⊥平面PAD，CD=2，…（11分）
∴VP-ADC=VC-PAD=

1

3

×1×2=

2

3

，…（13分）
∴VP-ABCD=2VP-ADC=2×

2

3

=

4

3

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面垂直，考查棱錐體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行，面面垂直的判定，正確運(yùn)用棱錐的體積公式，屬于中檔題．