Question

9．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$=1的一條漸近線為y=-2x，且一個焦點與拋物線x²=4y的焦點相同，則此雙曲線的方程為（　　）

• A． $\frac{5}{4}$x²-5y²=1
• B． 5y²-$\frac{5}{4}$x²=1
• C． $\frac{5}{4}$y²-5x²=1
• D． 5x²-$\frac{5}{4}$y²=1

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點坐標，可得雙曲線方程$\frac{{y}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{-a}$=1的漸近線方程為y=±$\sqrt{\frac{-a}}$x，由題意可得b=-4a，又c²=1，即b-a=1，解得a，b，即可得到所求雙曲線的方程．

解答 解：拋物線x²=4y的焦點為（0，1），
可得雙曲線$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$=1（b＞0，a＜0），
即為$\frac{{y}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{-a}$=1的漸近線方程為y=±$\sqrt{\frac{-a}}$x，
由題意可得$\sqrt{\frac{-a}}$=2，即b=-4a，
又c²=1，即b-a=1，
解得a=-$\frac{1}{5}$，b=$\frac{4}{5}$．
即有雙曲線的方程為$\frac{5{y}^{2}}{4}$-5x²=1．
故選：C．

點評 本題考查雙曲線的方程的求法，注意運用拋物線的焦點和漸近線方程，考查運算能力，屬于中檔題．