20.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC1上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是①②⑤(寫出所有正確命題的編號).
①當$0<CQ<\frac{1}{2}$時,S為四邊形    
②當$CQ=\frac{1}{2}$時,S為等腰梯形
③當$CQ=\frac{3}{4}$時,S與C1D1的交點R滿足${C_1}{R_1}=\frac{1}{4}$
④當$\frac{3}{4}<CQ<1$時,S為六邊形    
⑤當CQ=1時,S的面積為$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$.

分析 過點A,P,Q的平面必與面ADA1,BC1C相交,且交線平行,據(jù)此,當Q為C1C中點時,截面與面ADD1交與AD1,為等腰梯形,據(jù)此可以對①②進行判斷;
連接AP,延長交DC于一點M,再連接MQ并延長其交D1D于N,連接AN,可見,截面此時不會與面ABB1相交,據(jù)此判斷③,
當CQ=1時,截面為底為 $\sqrt{2}$,腰長為 $\frac{\sqrt{5}}{2}$的等腰梯形,由此可求其面積.判斷④.
求出面積判斷⑤的正誤.

解答 解:連接AP并延長交DC于M,再連接MQ,
對于①,當0<CQ<$\frac{1}{2}$時,MQ的延長線交線段D1D與點N,且N在D1與D之間,連接AN,則截面為四邊形APQN;①正確;
當CQ=$\frac{1}{2}$時,即Q為CC1中點,此時可得PQ∥AD1,AP=QD1=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,
故可得截面APQD1為等腰梯形,故②正確;
由上圖當點Q向C移動時,滿足0<CQ<$\frac{1}{2}$,只需在DD1上取點M滿足AM∥PQ,
即可得截面為四邊形APQM,故①正確;
③當CQ=$\frac{3}{4}$時,如圖,
延長DD1至N,使D1N=$\frac{1}{2}$,連接AN交A1D1于S,連接NQ交C1D1于R,連接SR,
可證AN∥PQ,由△NRD1∽△QRC1,可得C1R:D1R=C1Q:D1N=1:2,故可得C1R=$\frac{1}{3}$,故③不正確;
④由③可知當$\frac{3}{4}$<CQ<1時,只需點Q上移即可,此時的截面形狀仍然上圖所示的APQRS,顯然為五邊形,故錯誤;
⑤當CQ=1時,Q與C1重合,取A1D1的中點F,連接AF,可證PC1∥AF,且PC1=AF,
可知截面為APC1F為菱形,故其面積為$\frac{1}{2}$AC1•PF=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{3}$•$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,故正確.
故答案為:①②⑤

點評 此題考查了截面的性質,關鍵是利用面面平行、面面相交的性質確定截面的頂點.

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x1234
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(1)找出你認為最適合的函數(shù)模型,并說明理由,然后選取08年和10年的數(shù)據(jù)求出相應的解析式;
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