Question

5．已知拋物線C：x²=8y，過點(diǎn)M（0，t）（t＜0）可作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若直線AB恰好過拋物線C的焦點(diǎn)，則△MAB的面積為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 6
• D． 16

Answer 1

分析 利用切點(diǎn)分別為A，B，若直線AB恰好過拋物線C的焦點(diǎn)，求出A，B的坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出t的值，問題得以解決．

解答 解：拋物線C：x²=8y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∵拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，直線AB恰好過拋物線C的焦點(diǎn)，
∴x²=8×2，
解得x=±4，
∴x_B=-4，x_A=4，
∴A（4，2），B（-4，2），
∵y=$\frac{1}{8}$x²，
∴y′=$\frac{1}{4}$x，
∴k_AM=$\frac{1}{4}$×4=1=$\frac{2-t}{4-0}$，
解得t=-2，
∴|AB|=4+4=8，△MAB的高等于2-（-2）=4，
∴S_△MAB=$\frac{1}{2}$×8×4=16，
（求出直線的斜率也可以這樣求：設(shè)直線AM的方程為y-2=k（x-4），
由$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=8y}\\{y-2=k（x-4）}\end{array}\right.$得到x²-8kx+8（4k+2）=0，
∴△=64k²-32（4k-2）=0，
解得k=1，
繼而求出y-2=x-4，
得到t=-2，然后再求出面積）
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形面積的計(jì)算，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．