已知函數f(x)=ax3+3x2-6ax-11,g(x)=3x2+6x+12,和直線m:y=kx+9,又f′(-1)=0.
(1)求a的值;
(2)是否存在k的值,使直線m既是曲線y=f(x)的切線,又是曲線y=g(x)的切線?如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由.
【答案】分析:(1)由題中條件:“f′(-1)=0”,先求出函數的導數,再代入計算f′(-1)的值,即可求得a的值;
(2)對于存在性問題,可先假設存在,即假設存在k的值,使直線m既是曲線y=f(x)的切線,又是曲線y=g(x)的切線,再利用導數的幾何意義,求出曲線y=g(x)的切線和曲線y=f(x)的切線,若出現矛盾,則說明假設不成立,即不存在;否則存在.
解答:解:(1)f′(x)=3ax2+6x-6a,f′(-1)=0,
即3a-6-6a=0,∴a=-2.
(2)∵直線m恒過定點(0,9),先求直線m是曲線y=g(x)的切線,設切點為(x,3x2+6x+12),
∵g′(x)=6x+6,
∴切線方程為y-(3x2+6x+12)=(6x+6)(x-x),將點(0,9)代入,得x=±1,
當x=-1時,切線方程為y=9;
當x=1時,切線方程為y=12x+9.
由f′(x)=0得-6x2+6x+12=0,即有x=-1或x=2,
當x=-1時,y=f(x)的切線方程為y=-18;
當x=2時,y=f(x)的切線方程為y=9.
∴公切線是y=9.
又有f′(x)=12得-6x2+6x+12=12,∴x=0或x=1.
當x=0時,y=f(x)的切線方程為y=12x-11;
當x=1時,y=f(x)的切線方程為y=12x-10,
∴公切線不是y=12x+9.
綜上所述公切線是y=9,此時存在,k=0.
點評:本小題主要考查直線的斜率、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程等基礎知識,考查運算求解能力.屬于基礎題.