Question

7．某理科考生參加自主招生面試，從7道題中（4道理科題3道文科題）不放回地依次任取3道作答．
（1）求該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到理科題的概率；
（2）該考生答對(duì)理科題的概率均為$\frac{4}{5}$，若每題答對(duì)得10分，否則得零分，現(xiàn)該生抽到3道理科題，求其所得總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析 （1）記該考生在第一次抽到理科題為事件A，第二次和第三次均抽到理科題為事件B，則P（A）=$\frac{{C}_{4}^{1}{A}_{6}^{2}}{{A}_{7}^{3}}$，P（AB）=$\frac{{A}_{4}^{3}}{{A}_{7}^{3}}$，利用條件概率能求出該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到理科題的概率．
（2）由題意X的可能取值為0，10，20，30，分別求出相應(yīng)的概率，由此能出其所得總分X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）記該考生在第一次抽到理科題為事件A，
第二次和第三次均抽到理科題為事件B，
P（A）=$\frac{{C}_{4}^{1}{A}_{6}^{2}}{{A}_{7}^{3}}$，P（AB）=$\frac{{A}_{4}^{3}}{{A}_{7}^{3}}$，
∴該考生在第一次抽到理科題的條件下，第二次和第三次均抽到理科題的概率：
P（B|A）=$\frac{P（AB）}{P（A）}$=$\frac{{A}_{4}^{3}}{{C}_{4}^{1}{A}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$．
（2）P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
P（X=10）=${C}_{3}^{1}（\frac{4}{5}）（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{12}{125}$，
P（X=20）=${C}_{3}^{2}（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{1}{5}）=\frac{48}{125}$，
P（X=30）=${C}_{3}^{0}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
∴其所得總分X的分布列為：

X	0	10	20	30
P	$\frac{1}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{64}{125}$

E（X）=$0×\frac{1}{125}+10×\frac{12}{125}+20×\frac{48}{125}+30×\frac{64}{125}$=24．

點(diǎn)評(píng) 本題考查條件概率、離散型隨機(jī)變量的分列和數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．