Question

已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

6

3

．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓與直線y=kx+2（k≠0）相交于不同的兩點(diǎn)M、N，當(dāng)|MN|=

3

時(shí)，求k的取值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，

b=1 c a = 6 3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）聯(lián)立

y=kx+2 x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+12kx+9=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式能求出k．

解答： 解：（1）由已知設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0，
∵橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為A（0，-1），離心率為

6

3

．
∴

b=1 c a = 6 3 a2=b2+c2

，解得a=

3

，b=1，c=

2

，
∴橢圓方程為

x2

3

+y2=1．
（2）聯(lián)立

y=kx+2 x2 3 +y2=1

，得（3k²+1）x²+12kx+9=0，
∵橢圓與直線y=kx+2（k≠0）相交于不同的兩點(diǎn)M、N，
∴△=144k²-36（3k²+1）＞0，解得k＞1或k＜-1，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

12k

3k2+1

，x1x2=

9

3k2+1

，
∵|MN|=

3

，∴|MN|=

(1+k2)[(- 12k 3k2+1 )2- 36 3k2+1 ]

=

3

，
整理，得3k⁴-6k²-13=0，
解得k=±

1+ 4 3 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．