Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，其左焦點為F（-

3

，0）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點D（1，0）直線：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于A，B兩點，設(shè)線段AB的中點為M若DM⊥AB，試求k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意得

e= c a = 3 2 c= 3 a2=b2+c2

，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點（x₀，y₀），由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，由此利用根的判別式、韋達定理，結(jié)合已知條件能求出k的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意得

e= c a = 3 2 c= 3 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=1，
∴橢圓方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點（x₀，y₀），
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+8kmx+4（m²-1）=0，
∵直線：y=kx+m（k≠0）與橢圓C交于A，B兩點，
∴△=64k²-16（4k²+1）（m²-1）＞0，
解得4k²+1＞m²，①
x1+x2=-

8km

4k2+1

，
∴x0=-

4km

4k2+1

，y0=

m

4k2+1

，
由題意知DM垂直平分AB，∴DM的方程為x=-ky+1，
將點M的坐標代入，得m=-

4k2+1

3k

，②
由①②，得4k2+1＞

(4k2+1)2

9k

，
解得k＜-

5

5

或k＞

5

5

，
∴k的取值范圍是（-∞，-

5

5

）∪（

5

5

，+∞）．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．