Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓外的點(diǎn)在軸的右側(cè)運(yùn)動(dòng),且到圓上的點(diǎn)的最小距離等于它到軸的距離,記的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于,兩點(diǎn),以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點(diǎn),線段交于點(diǎn),證明：的面積是的面積的四倍.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

法一：（1）設(shè)P（x，y），x＞0，F（1，0）．由點(diǎn)P在⊙F外，可得點(diǎn)P到⊙F上的點(diǎn)的最小距離為|PF|﹣1，由題意可得：|PF|﹣1＝x，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．

（2）設(shè)N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）．則D（，）．由題意可設(shè)直線AB的方程為：y＝k（x﹣1）（k≠0）．與拋物線方程聯(lián)立化為：k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得D，M，N的坐標(biāo)．再利用三角形面積計(jì)算公式即可得出．

法二：（1）由題意得，點(diǎn)到圓的距離等于到直線的距離，根據(jù)拋物線的定義求得軌跡方程. （2）設(shè)，，由題意可設(shè)直線AB的方程為：與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得D的坐標(biāo)，結(jié)合

，可得，進(jìn)而求出N的坐標(biāo)，利用點(diǎn)的位置關(guān)系得到面積的關(guān)系.

法三：（1）與法一同；（2）設(shè)，，由題意可設(shè)直線AB的方程為：與拋物線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得D，M的坐標(biāo)，利用斜率公式計(jì)算得到，再利用長(zhǎng)度關(guān)系得到面積的關(guān)系.

解法一：（1）設(shè)，依題意，.

因?yàn)?/span>在圓外，所以到圓上的點(diǎn)的最小距離為

依題意得，即，

化簡(jiǎn)得的方程為.

（2）設(shè)，，，則.

依題意可設(shè)直線的方程，

由得.

因?yàn)?/span>，

所以，

則有，故，

由拋物線的定義知.

設(shè)，依題意得，所以.

又因?yàn)?/span>，所以，

解得，所以.，

因?yàn)?/span>在拋物線上，所以，即，

所以，

，

故

解法二：（1）設(shè)，依題意.

因?yàn)?/span>在圓外，所以到圓上的點(diǎn)的最小距離為.

依題意得，點(diǎn)到圓的距離等于到直線的距離，

所以在以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線上.

所以的方程為..

（2）設(shè)，，

因?yàn)橹本�過(guò)，依題意可設(shè)其方程

由得，

因?yàn)?/span>，所以，

則有.

因?yàn)?/span>是的中點(diǎn)，所以.

由拋物線的定義得.，

設(shè)圓與相切于，

因?yàn)?/span>與拋物線相交于，所以，且，

所以，即，解得，

設(shè)，則，且，所以，

因?yàn)?/span>，所以為的中點(diǎn)，所以，

又因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，，所以.

解法三：（1）同解法一.

（2）設(shè)，，連結(jié)，.

因?yàn)橹本�過(guò)，依題意可設(shè)其方程

由得.，

因?yàn)?/span>，所以，

所以.

因?yàn)?/span>，，又因?yàn)?/span>，

所以，解得，所以，

所以，故.

又因?yàn)?/span>，所以，從而.

所以，

又，所以.