Question

【題目】在三棱柱中，，側面是邊長為2的正方形，點，分別在線段、上，且，，.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）取線段中點，連接．通過證明，從而有，而，所以面，面，所以面面；（2）記線段中點為，連接，由（1）知，兩兩互相垂直，以為坐標原點，分別以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標系.用法向量的方法求直線與平面所成角的正弦值為.

試題解析：

解：

（1）取線段中點，連接．

在正方形中，，

在和中，，

又，所以，

∴，

從而，

所以，即2分

又，

所以面．

面，

∴4分

在等腰三角形中，，又與相交，知

∴面，

面，∴面面6分

（2）

在等腰三角形中，由知，且，

記線段中點為，連接，由（1）知，兩兩互相垂直，

以為坐標原點，分別以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標系，則

8分

設平面的法向量為，則，即

，

取，則，從而得到平面的一個法向量10分

，記直線與平面所成角為，

則．

故直線與平面所成角的正弦值為12分