Question

4．已知點(diǎn)A，B分別是橢圓$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{20}$=1長軸的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF．設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點(diǎn)，M到直線AP的距離等于|MB|，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{5}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 先求出PA、F的坐標(biāo)，設(shè)出P的坐標(biāo)（m，n），求出$\overrightarrow{AP}$、$\overrightarrow{FP}$的坐標(biāo)，由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{36}+\frac{{n}^{2}}{20}=1}\\{（m+6）（m-4）+{n}^{2}=0}\end{array}\right.$且y＞0，解方程組求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；求出直線AP的方程，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，由M到直線AP的距離等于|MB|，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的平方得解析式，配方求得最小值．

解答 解：由已知可得點(diǎn)A（-6，0），F(xiàn)（4，0），
設(shè)點(diǎn)P（m，n），則$\overrightarrow{AP}$=（m+6，n），$\overrightarrow{FP}$=（m-4，n）．
由題意可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{m}^{2}}{36}+\frac{{n}^{2}}{20}=1}\\{（m+6）（m-4）+{n}^{2}=0}\end{array}\right.$且n＞0，
化為2m²+9m-18=0，解得m=$\frac{3}{2}$，或m=-6．
由于n＞0，只能m=$\frac{3}{2}$，于是n=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
直線AP的方程y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+6），
即x-$\sqrt{3}$y+6=0．  
設(shè)點(diǎn)M（t，0），則M到直線AP的距離是$\frac{|t+6|}{2}$，
于是$\frac{|t+6|}{2}$=|6-t|，又-6≤t≤6，解得t=2，故點(diǎn)M（2，0）．
設(shè)橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)M的距離為d，有：
d²=（x-2）²+y² =x²-4x+4+20-$\frac{5}{9}$x² =$\frac{4}{9}$（x-$\frac{9}{2}$）²+15，
∴當(dāng)x=$\frac{9}{2}$時(shí)，d取得最小值$\sqrt{15}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，是解題的難點(diǎn)．