Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，a=$\sqrt{15}$，sinA=$\frac{1}{4}$．
（1）若cosB=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，求b的大��；
（2）若b=4a，求c的大小及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，利用正弦定理即可得解b的大�。�
（2）利用大邊對大角可得$0＜A＜\frac{π}{2}$，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosA的值，結(jié)合余弦定理可求c，根據(jù)三角形面積公式即可得解．

解答 （本小題滿分13分）
解：（1）∵$cosB=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，0＜B＜π，
∴$sinB=\sqrt{1-cosB}=\frac{2}{3}$，…（2分）
∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，a=$\sqrt{15}$，sinA=$\frac{1}{4}$．…（3分）
∴$b=\frac{asinB}{sinA}=\frac{{\sqrt{15}×\frac{2}{3}}}{{\frac{1}{4}}}=\frac{{8\sqrt{15}}}{3}$．…（5分）
（2）∵b=4a=$4\sqrt{15}$，
∴b＞a，
∴$0＜A＜\frac{π}{2}$，…（6分）
∵$sinA=\frac{1}{4}$，
∴$cosA=\sqrt{1-sinA}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，…（8分）
∵a²=b²+c²-2bccosA，…（9分）
∴$15=16×15+{c^2}-2×4\sqrt{15}c×\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，即c²-30c+15²=0…（10分）
解得c=15，…（11分）
∴△ABC的面積為$\frac{1}{2}bcsinA=\frac{1}{2}×4\sqrt{15}×15×\frac{1}{4}=\frac{15}{2}\sqrt{15}$．…（13分）

點評 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，大邊對大角等知識在解三角形中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．