Question

6．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=2a_n-a₁，且a₃，a₂+1，a₁成等差數(shù)列．若log₂a_n+1≤71，則n的最大值等于（　�。�

• A． 67
• B． 68
• C． 69
• D． 70

Answer 1

分析 S_n=2a_n-a₁，令n=1，可得：a₁=2a₁-a₁；令n=2，可得a₂=2a₁；令n=3，可得：a₃=2a₂=4a₁．由于a₃，a₂+1，a₁成等差數(shù)列．可得2（a₂+1）=a₃+a₁，代入解得a₁=2．當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，化為a_n=2a_n-1．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵S_n=2a_n-a₁，令n=1，可得：a₁=2a₁-a₁；令n=2，則a₁+a₂=2a₂-a₁，可得a₂=2a₁；令n=3，可得：a₃=2a₂=4a₁．
∵a₃，a₂+1，a₁成等差數(shù)列．∴2（a₂+1）=a₃+a₁，代入可得：2（2a₁+1）=5a₁，解得a₁=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-a₁-（2a_n-1-a₁），化為a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2．
∴a_n=2ⁿ．
∵log₂a_n+1≤71，
∴n+1≤71，解得n≤70．
則n的最大值等于70．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．