Question

如圖，已知四面體PABC的四個頂點P，A，B，C均在球O的表面上，且AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC，則球O的體積是

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：如圖所示，取AB的中點D，過點D作OD⊥平面ABC，由于PC⊥AC，AC=BC，PA=PB，可得PC⊥BC，PC⊥平面ABC．設(shè)OD交PC的垂直平分線于點O，則點O為球心．求出即可．

解答： 解：如圖所示，
取AB的中點D，過點D作OD⊥平面ABC，
∵PC⊥AC，AC=BC，PA=PB，
∴PC⊥BC，
又AC∩BC=C，
∴PC⊥平面ABC．
∴PC∥OD．
OD交PC的垂直平分線于點O，則點O為球心．
球的半徑R=OC=

CD2+( 1 2 PC)2

=

( 2 )2+12

=

3

．
∴球O的體積V=

4π

3

R3=

4π×( 3 )3

3

=4

3

π．
故答案為：4

3

π．

點評：本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理、球的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．