Question

在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到兩點(diǎn)，的距離之和等于4，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線C，直線過(guò)點(diǎn)且與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在；最大值為

試題分析：該題考察曲線方程的求法、直線和橢圓的位置關(guān)系、函數(shù)的最大值，考察數(shù)形結(jié)合、綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.（Ⅰ）由已知曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓，且，故曲線的方程為；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為： ，將它與橢圓：聯(lián)立，可得，設(shè)，，然后根據(jù)韋達(dá)定理代入，可得關(guān)于的函數(shù)，再求其最大值即可.

試題解析：（Ⅰ）由橢圓定義可知，點(diǎn)的軌跡C是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2的橢圓．                                                  
故曲線的方程為．                        4分
（Ⅱ）存在△面積的最大值.
因?yàn)橹本�過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為 或（舍）．
則
整理得 ．                             7分
由．
設(shè)．
解得 ， ．
則 ．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240233575351027.png" style="vertical-align:middle;" />．                10分  
設(shè)，，．
則在區(qū)間上為增函數(shù)．
所以．
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即．
所以的最大值為．                          12分