Question

7．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，過右焦點F₂且與x軸垂直的直線與雙曲線兩條漸近線分別交于A，B兩點，若△ABF₁為等腰直角三角形，且|AB|=4$\sqrt{5}$，P（x，y）在雙曲線上，M（$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），則|PM|+|PF₂|的最小值為（　�。�

• A． $\sqrt{5}$-1
• B． 2
• C． 2$\sqrt{5}$-2
• D． 3

Answer 1

分析 設(shè)出雙曲線的焦點和漸近線方程，令x=c，解得y，可得|AB|，由等腰直角三角形的性質(zhì)和雙曲線的基本量的關(guān)系，解得a，b，c，可得雙曲線的方程，討論P在左支和右支上，運用雙曲線的定義，結(jié)合三點共線的性質(zhì)，結(jié)合兩點的距離公式，即可得到所求最小值．

解答 解：雙曲線的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），
漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
令x=c，解得y=±$\frac{bc}{a}$，
可得|AB|=$\frac{2bc}{a}$，
若△ABF₁為等腰直角三角形，且|AB|=4$\sqrt{5}$，
即有$\frac{2bc}{a}$=4$\sqrt{5}$，2c=2$\sqrt{5}$，c²=a²+b²，
解得a=1，b=2，c=$\sqrt{5}$，
即有雙曲線的方程為x²-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
由題意可知若P在左支上，由雙曲線的定義可得|PF₂|=2a+|PF₁|，
|PM|+|PF₂|=|PM|+|PF₁|+2a≥|MF₁|+2=$\sqrt{（\sqrt{5}+\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$+2=7，
當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)₁共線時，取得最小值7；
若P在右支上，由雙曲線的定義可得|PF₂|=|PF₁|-2a，
|PM|+|PF₂|=|PM|+|PF₁|-2a≥|MF₁|-2=$\sqrt{（\sqrt{5}+\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$-2=3，
當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)₁共線時，取得最小值3．
綜上可得，所求最小值為3．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的運用，以及定義法，考查轉(zhuǎn)化思想和三點共線取得最小值的性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題．