Question

18．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1．
（1）求a₂，a₄，a₆；
（2）設(shè)b_n=a_2n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，求S₂₀₁₈．

Answer 1

分析 （1）由已知得{a_n}滿足：a₁=1，${a}_{n+1}=2n-1-（-1）^{n}{a}_{n}$，利用遞推思想依次求出前6項(xiàng)，由此能求出a₂，a₄，a₆．
（2）推導(dǎo)出a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n為奇數(shù)}\\{2（n-1），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（3）a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n為奇數(shù)}\\{2（n-1），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1+（-1）ⁿa_n=2n-1．
∴${a}_{n+1}=2n-1-（-1）^{n}{a}_{n}$，
∴a₂=2-1+1=2，
a₃=4-1-2=1，
a₄=6-1+1=6，
a₅=8-1-6=1，
a₆=10-1+1=10．
（2）由（1）得a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n為奇數(shù)}\\{2（n-1），n為偶數(shù)}\end{array}\right.$，
∵b_n=a_2n，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式b_n=a_2n=2（2n-1）=4n-2．
（3）∵S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，
∴S₂₀₁₈=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₇）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₈）
=1009×1+2（1+3+5+…+2017）
=1009+2×$\frac{1009（1+2017）}{2}$
=2037171．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的前6項(xiàng)的求法，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的求法，考查遞推公式、分組求和法、等差數(shù)列性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．