Question

12．已知$\overrightarrow{OP}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{OQ}$=（1+sinθ，1+cosθ），且0≤θ≤π．
（1）求$\overrightarrow{PQ}$模的最大值，并求出當(dāng)|$\overrightarrow{PQ}$|取最大值時(shí)θ的值；
（2）當(dāng)|$\overrightarrow{PQ}$|取最大值時(shí)，求$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$的夾角φ（用反三角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析 （1）由已知$\overrightarrow{OP}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{OQ}$=（1+sinθ，1+cosθ）（θ∈[0，π]），利用向量的模用坐標(biāo)表示的式子寫出關(guān)于角θ的三角函數(shù)式，即可求解$\overrightarrow{PQ}$模的最大值，并求出當(dāng)|$\overrightarrow{PQ}$|取最大值時(shí)θ的值；
（2）把（1）中所求的θ值代入$\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$，然后利用向量數(shù)量積公式求夾角．

解答 解：（1）$\overrightarrow{OP}$=（cosθ，sinθ），$\overrightarrow{OQ}$=（1+sinθ，1+cosθ），
∴$\overrightarrow{PQ}$=（1-cosθ+sinθ，1+cosθ-sinθ）=（$2si{n}^{2}\frac{θ}{2}+2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}$，$2co{s}^{2}\frac{θ}{2}-2sin\frac{θ}{2}cos\frac{θ}{2}$）
=（2sin$\frac{θ}{2}（sin\frac{θ}{2}+cos\frac{θ}{2}）$，2cos$\frac{θ}{2}（cos\frac{θ}{2}-sin\frac{θ}{2}）$），
∴$|\overrightarrow{PQ}{|}^{2}$=$4si{n}^{2}\frac{θ}{2}$（1+sinθ）+$4co{s}^{2}\frac{θ}{2}$（1-sinθ）
=2（1-cosθ）（1+sinθ）+2（1+cosθ）（1-sinθ）
=2（2-sin2θ）（θ∈[0，π]），
∴$|\overrightarrow{PQ}{|}^{2}$的最大值為6，即|$\overrightarrow{PQ}$|的最大值為$\sqrt{6}$，此時(shí)sin2θ=-1，即2$θ=\frac{3}{2}π$，$θ=\frac{3π}{4}$；
（2）由（1）知，當(dāng)|$\overrightarrow{PQ}$|取最大值時(shí)，$θ=\frac{3π}{4}$，
此時(shí)$\overrightarrow{OP}$=（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{OQ}$=（$1+\frac{\sqrt{2}}{2}，1-\frac{\sqrt{2}}{2}$），
$|\overrightarrow{OP}|=1，|\overrightarrow{OQ}|=\sqrt{（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{3}$，
$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）+\frac{\sqrt{2}}{2}（1-\frac{\sqrt{2}}{2}）$=-1．
∴cosφ=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴φ=$arccos（-\frac{\sqrt{3}}{3}）$=$π-arccos\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了利用向量的坐標(biāo)求向量的模，訓(xùn)練了利用向量求夾角，是中檔題．