Question

（2013•杭州一模）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=60°，點(diǎn)C為弧AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若

OC

=x

OA

+y

OB

，則x+3y的取值范圍是

[1，3]

．

Answer 1

分析：過(guò)點(diǎn)C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F．平行四邊形OECF中，可得

OC

=

OE

+

OF

，結(jié)合平面向量基本定理得到

OE

=x

OA

，

OF

=y

OB

．考慮到x、y均為正數(shù)且x+3y中y的系數(shù)較大，所以當(dāng)y越大時(shí)x+3y的值越大，因此將點(diǎn)C沿AB弧由A向B運(yùn)動(dòng)，加以觀察即可得到x+3y的取值范圍．

解答：解：過(guò)點(diǎn)C作CE∥OB，交OA于E，再作CF∥OA，交OB于F，可得
∵四邊形OECF是平行四邊形
∴

OC

=

OE

+

OF

∵

OC

=x

OA

+y

OB

，

OE

與

OA

是共線向量且

OF

與

OB

是共線向量，
∴

OE

=x

OA

，

OF

=y

OB

根據(jù)

OE

與

OA

同向、

OF

與

OB

同向，可得x=

|OE|

|OA|

且y=

|OF|

|OB|

∵x、y均為正數(shù)且x+3y中y的系數(shù)較大，當(dāng)點(diǎn)C沿AB弧由A向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，
|

OE

|變短而|

OF

|變長(zhǎng)
∴當(dāng)C與A重合時(shí)，x=1達(dá)到最大而y=0達(dá)到最小，此時(shí)x+3y有最小值為1；
當(dāng)C與A重合時(shí)，x=0達(dá)到最小而y=1達(dá)到最大，此時(shí)x+3y有最大值為3
即x+3y的取值范圍是[1，3]
故答案為：[1，3]

點(diǎn)評(píng)：本題給出扇形OAB的弧AB上動(dòng)點(diǎn)C，在

OC

=x

OA

+y

OB

的情況下求x+3y的取值范圍．著重考查了平面向量基本定理、向量的線性運(yùn)算法則和二元函數(shù)最值求法等知識(shí)，屬于中檔題．