Question

10．如果曲線y=2sin$\frac{x}{2}$的兩條互相垂直的切線交于P點，則P點的坐標不可能是（　　）

• A． （π，π）
• B． （3π，-π）
• C． （5π，-π）
• D． （7π，-π）

Answer 1

分析 若l₁，l₂是函數(shù)f（x）=sinx圖象上的任意兩條相互垂直的切線，設這兩個切點的橫坐標分別為x₁、x₂，則cos$\frac{{x}_{1}}{2}$cos$\frac{{x}_{2}}{2}$=-1，得到切點坐標之間的關系進行判斷即可．

解答 解：由f（x）=2sin$\frac{x}{2}$，得f′（x）=cos$\frac{x}{2}$，若l₁，l₂是函數(shù)f（x）=2sin$\frac{x}{2}$圖象上的任意兩條相互垂直的切線，
設這兩個切點的橫坐標分別為x₁、x₂，則cos$\frac{{x}_{1}}{2}$cos$\frac{{x}_{2}}{2}$=-1．
不妨設cos$\frac{{x}_{1}}{2}$≤cos$\frac{{x}_{2}}{2}$，則必有cos$\frac{{x}_{1}}{2}$=-1，cos$\frac{{x}_{2}}{2}$=1，即$\frac{{x}_{2}}{2}$=2kπ，$\frac{{x}_{1}}{2}$=2kπ+π，
進一步求出兩條切線的交點P的坐標為（x₀，y₀）=（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{2}$），可見P的橫坐標與縱坐標都是π的奇數(shù)倍，且兩者之差是4π的整數(shù)倍，
四個選項中只有（5π，-π）不符合這個特征，
故選：C

點評 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象，求函數(shù)在某一點的切線方程，兩條直線垂直的性質，難度較大．