20．橢圓短軸的一個端點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)組成直角三角形，則該橢圓的離心率是$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

分析 根據(jù)題意，作出橢圓的圖象，由∠ABC=90°分析可得b=c，由橢圓的性質(zhì)可得a2=b2+c2=2c2，即a=$\sqrt{2}$c，進(jìn)而由橢圓離心率公式計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，如圖，OA=OC=c，OB=b，
若∠ABC=90°，
則有b=c，
故a2=b2+c2=2c2，即a=$\sqrt{2}$c，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是依據(jù)題意，作出圖形，分析a、b、c之間的關(guān)系．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．已知橢圓Γ：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的離心率等于$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，橢圓Γ上的點(diǎn)到它的中心的距離的最小值為2．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)E（0，4）作關(guān)于y軸對稱的兩條直線分別與橢圓Γ相交，y軸左邊的交點(diǎn)由上到下依次為A，B，y軸右邊的交點(diǎn)由上到下依次為C，D，求證：直線AD過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．

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11．在△ABC中，tanA是以-4為第三項(xiàng)，4為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差，tanB是以$\frac{1}{3}$為第三項(xiàng)，9為第六項(xiàng)的等比數(shù)列的公比，則這個三角形是（　�。�
A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法確定

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8．橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）和圓x2+y2=（$\frac{2}$t+$\frac{c}{2}$）2，（c為橢圓的半焦距）對任意t∈[1，2]恒有四個不同的交點(diǎn)，則橢圓的離心率e的取值范圍為（　　）
A．（0，$\frac{4}{5}$]B．（$\frac{4}{5}$，1）C．（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]D．（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{4}{5}$）

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15．已知直線y=x+2與圓x2+y2=6相交的弦長等于橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長，且橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，拋物線C：y2=4x
（1）求該橢圓的方程；
（2）經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F作互相垂直的直線分別交曲線C及橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）于點(diǎn)M，N，A，B四點(diǎn)，其中M，N在拋物線C上，A，B在橢圓上，試求$\frac{|AB|}{|MN|}$的取值范圍．

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5．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，橢圓C與y軸交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)P是橢圓C上的動點(diǎn)，且直線PA，PB與直線x=4分別交于M、N兩點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以MN為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)（2，0）？若存在，求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

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12．在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中：
（1）AB與A1D1是否垂直？
（2）AC與B1D1是否垂直？

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9．已知（3$\sqrt{x}$-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）n二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為64
（1）求n的值；
（2）展開式中的常數(shù)項(xiàng)．

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10．如果曲線y=2sin$\frac{x}{2}$的兩條互相垂直的切線交于P點(diǎn)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)不可能是（　�。�
A．（π，π）B．（3π，-π）C．（5π，-π）D．（7π，-π）

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