Question

17．已知橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1與雙曲線C₂的公共焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，A，B分別為C₁，C₂在第二、第四象限的公共點(diǎn)．若四邊形AF₁BF₂為矩形，則C₂的離心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)|AF₁|=x，|AF₂|=y，利用橢圓的定義，四邊形AF₁BF₂為矩形，可求出x，y的值，進(jìn)而可得雙曲線的幾何量，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：設(shè)|AF₁|=x，|AF₂|=y，
∵點(diǎn)A為橢圓橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1上的點(diǎn)，
∴2a=$2\sqrt{5}$，b=1，c=2；
∴|AF₁|+|AF₂|=2a=2$\sqrt{5}$，即x+y=2$\sqrt{5}$；①
又四邊形AF₁BF₂為矩形，
∴|AF₁|²+|AF₂|²=|F₁F₂|²，
即x²+y²=（2c）²=16，②
由①②得$\left\{\begin{array}{l}{x+y=2\sqrt{5}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，
解得y=$\sqrt{5}+\sqrt{3}$，x=$\sqrt{5}-\sqrt{3}$，
設(shè)雙曲線C₂的實(shí)軸長(zhǎng)為2a′，焦距為2c′，
則2a′=|AF₂|-|AF₁|=y-x=2$\sqrt{3}$，2c′=4，
∴C₂的離心率是e=$\frac{4}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓與雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得|AF₁|與|AF₂|是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．