Question

【題目】設(shè)函數(shù) （ 為常數(shù)，e=2.71828……是自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù) 在 內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù) 的定義域?yàn)?

由 可得 ,

所以當(dāng) 時(shí), ,函數(shù) 單調(diào)遞減;

當(dāng) 時(shí), ,函數(shù) 單調(diào)遞增;

所以 的單調(diào)遞減區(qū)間為 單調(diào)遞增區(qū)間為

（2）解：由1知, 時(shí),函數(shù) 在 內(nèi)單調(diào)遞減,

故 在 內(nèi)不存在極值點(diǎn);

當(dāng) 時(shí),設(shè)函數(shù) ,,

因?yàn)? ,

當(dāng) 時(shí),當(dāng) 時(shí), , 單調(diào)遞增;

故 在 內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn);

當(dāng) 時(shí),得 時(shí), ,函數(shù) 單調(diào)遞減;

時(shí), ,函數(shù) 單調(diào)遞增;

所以函數(shù) 的最小值為 ,

函數(shù) 在 內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn),

當(dāng)且僅當(dāng) ,解得 .

綜上所述,函數(shù) 在 內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí),k的取值范圍為

【解析】(1)根據(jù)題意結(jié)合已知條件求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)利用導(dǎo)函數(shù)在指定區(qū)間上的的正負(fù)情況得出原函數(shù)的增減性以及增減區(qū)間。(2)函數(shù)f(x) 在（ 0 , 2 ） 內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于它的導(dǎo)函數(shù)f‘(x) 在 ( 0 , 2 ) 內(nèi)存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)。
【考點(diǎn)精析】掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即：方程有實(shí)數(shù)根，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，函數(shù)有零點(diǎn)．