已知函數(shù)，其中常數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）如果函數(shù)在公共定義域D上，滿足，那么就稱 為與的“和諧函數(shù)”．設，求證：當時，在區(qū)間上，函數(shù)與的“和諧函數(shù)”有無窮多個．

（1）,的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是    
,單調(diào)遞增區(qū)間是  ,,單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是  
（2）作差構造新函數(shù)證明.

解析試題分析：（1） ，常數(shù)）
令，則，                 
①當時，，
在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是           
②當時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間是         
③當時，，
在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，
故的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是        
（2）令，

令，則，           
因為，所以，且
從而在區(qū)間上，，即在上單調(diào)遞減       
所以               
又，所以，即       
設（，則
所以在區(qū)間上，函數(shù)與的“和諧函數(shù)”有無窮多個   
考點：類比推理；函數(shù)的定義域及其求法；函數(shù)的值域；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．
點評：本題主要以新定義為載體，綜合考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值方程的根的情況、二次函數(shù)的最值的求解，考查了利用已學知識解決新問題的能力，考查了推理運算的能力，本題綜合性較強．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的圖像在處的切線方程；
（Ⅱ）設實數(shù)，求函數(shù)在上的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。
(2)若關于的方程有三個不同實根，求實數(shù)的取值范圍；
(3)已知當(1，＋∞)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)在與時都取得極值.
(1)求的值與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若對，不等式恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)的導函數(shù)是，在處取得極值，且
，
（Ⅰ）求的極大值和極小值；
（Ⅱ）記在閉區(qū)間上的最大值為，若對任意的總有
成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）設是曲線上的任意一點．當時，求直線OM斜率的最
小值，據(jù)此判斷與的大小關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

函數(shù)，其中為常數(shù)，且函數(shù)和
的圖象在其與坐標軸的交點處的切線互相平行，求此時平行線的距離。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)
（1）當時，求函數(shù)在上的最大值和最小值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（3）若函數(shù)在處取得極值，不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設函數(shù)．
（1）對于任意實數(shù)，恒成立，求的最大值；
（2）若方程有且僅有一個實根，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)（其中為常數(shù)）.
(Ⅰ)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ) 當時，設函數(shù)的3個極值點為，且.
證明：.

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