Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）（x-b）²，（0＜a＜b），g（x）=k（x-b），（k∈R）．
（1）討論函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）討論f（x）與g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的圖象

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）在R上的單調(diào)性；
（2）由f（x）=g（x）得（x-a）（x-b）²=k（x-b），再分類討論，即可討論f（x）與g（x）的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：f（x）=（x-b）²+2（x-a）（x-b）=（x-b）（3x-2a-b），
∵0＜a＜b，∴b＞

2a+b

3

∴單調(diào)遞增區(qū)間是：(-∞，

2a+b

3

)，（b，+∞），
單調(diào)遞減區(qū)間是：(

2a+b

3

，b)（6分）
（2）由f（x）=g（x）得（x-a）（x-b）²=k（x-b），（x-b）[x²-（a+b）x+ab-k]=0
討論x²-（a+b）x+ab-k=0根的個(gè)數(shù)，
當(dāng)x=b是x²-（a+b）x+ab-k=0的根時(shí)，代入得：b²-b（a+b）+ab-k=0，∴k=0
∴當(dāng)k=0時(shí)，方程兩根為x₁=a，x₂=b
∴當(dāng)k=0時(shí)f（x）與g（x）有2個(gè)交點(diǎn)，…（8分）
當(dāng)x=b不是x²-（a+b）x+ab-k=0（*）的根時(shí)，則k≠0△=（a+b）²-4（ab-k）=（a-b）²+4k
∴k＜-

(a-b)2

4

，方程（*）無解，k=-

(a-b)2

4

，方程（*）有一個(gè)解，k＞-

(a-b)2

4

，且k≠0，方程（*）有2個(gè)解，且根不為x≠b．
∴綜上所述，當(dāng)k＜-

(a-b)2

4

，f（x）與g（x）有1個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)k=0或-

(a-b)2

4

，f（x）與g（x）有2個(gè)交點(diǎn)
當(dāng)k＞-

(a-b)2

4

，且k≠0，f（x）與g（x）有3個(gè)交點(diǎn)  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查交點(diǎn)個(gè)數(shù)，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確分類是關(guān)鍵．