Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求證：函數(shù)和在公共定義域內(nèi)，恒成立；

（3）若存在兩個不同的實數(shù)，，滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）增區(qū)間為,減區(qū)間為；（2）證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】分析：（1）構(gòu)造函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，得到得到導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進而得到單調(diào)區(qū)間和極值；（2）構(gòu)造函數(shù),對函數(shù)和求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性進而得到函數(shù)的最值，使得最小值大于2即可；（3）要證原式只需要證，故得到即證：，變量集中設(shè)即可,轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的不等式.

詳解：

(1)函數(shù)的定義域為,,

故當(dāng)時,,當(dāng)時,,

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為;

(2)證明:函數(shù)和的公共定義域為,

,

設(shè),則在上單調(diào)遞增,故;

設(shè),當(dāng)時有極大值點,

;故;

故函數(shù)和在公共定義域內(nèi),.

(3)證明:不妨設(shè),由題意得,

,;所以;

而要證,只需證明;

即證明;即證明;

即證明,;令,則;

即證明;設(shè);

則,故函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),

所以,即;所以不等式成立.