Question

14．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+（1-k）x-klnx．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若k為正數(shù)，且存在x₀使得f（x₀）＜$\frac{3}{2}$-k²，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，討論k的取值，分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0 即可得出，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得函數(shù)的最小值，f（x₀）＜$\frac{3}{2}$-k²，將其轉(zhuǎn)化成$\frac{k}{2}$+1-lnk-$\frac{3}{2k}$＜0，構(gòu)造輔助函數(shù)，判斷其單調(diào)性，即可求得k的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=x+1-k-$\frac{k}{x}$=$\frac{x2+（1-k）x-k}{x}$=$\frac{（x+1）（x-k）}{x}$，
（ⅰ）k≤0時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（ⅱ）k＞0時(shí)，x∈（0，k），f′（x）＜0；x∈（k，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，k）上單調(diào)遞減，f（x）在（k，+∞）上單調(diào)遞增．…（5分）
（Ⅱ）因k＞0，由（Ⅰ）知f（x）+k²-$\frac{3}{2}$的最小值為f（k）+k²-$\frac{3}{2}$=$\frac{k2}{2}$+k-klnk-$\frac{3}{2}$，
由題意得$\frac{k2}{2}$+k-klnk-$\frac{3}{2}$＜0，即$\frac{k}{2}$+1-lnk-$\frac{3}{2k}$＜0．…（8分）
令g（k）=$\frac{k}{2}$+1-lnk-$\frac{3}{2k}$，則g′（k）=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{k}$+$\frac{3}{2k2}$=$\frac{k2-2k+3}{2k2}$＞0，
∴g（k）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，又g（1）=0，
∴k∈（0，1）時(shí)，g（k）＜0，于是$\frac{k2}{2}$+k-klnk-$\frac{3}{2}$＜0；
k∈（1，+∞）時(shí)，g（k）＞0，于是$\frac{k2}{2}$+k-klnk-$\frac{3}{2}$＞0．
故k的取值范圍為0＜k＜1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性研及函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．