Question

15．已知函數(shù)f（x）=x²-3x+lnx-a，（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）討論f（x）的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）令f（x）=0，得：a=x²-3x+lnx，求出f（x）的最大值和最小值，通過討論a的范圍求出零點(diǎn)的個數(shù)即可．

解答 解：（1）∵${f^'}（x）=2x-3+\frac{1}{x}=\frac{{2{x^2}-3x+1}}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞1或0＜x＜$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜1，
∴增區(qū)間是$（{0，\frac{1}{2}}）和（{1，+∞}）$，減區(qū)間是$（{\frac{1}{2}，1}）$；
（2）令f（x）=0，得：a=x²-3x+lnx，
由${f^'}（x）=2x-3+\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x-1）}{x}$，
$f（\frac{1}{2}）=-\frac{5}{4}-ln2$，f（1）=-2，
∴當(dāng)$a∈（\frac{5}{4}-ln2，+∞）$有一個零點(diǎn)；
當(dāng)$a=\frac{5}{4}-ln2$有兩個零點(diǎn)；
當(dāng)$a∈（-2，\frac{5}{4}-ln2）$有三個零點(diǎn)；
當(dāng)a=-2有兩個零點(diǎn)；
當(dāng)a＜-2有一個零點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)零點(diǎn)，是一道中檔題．