Question

7．定積分${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sin²$\frac{x}{2}$dx+${∫}_{-1}^{1}$e^|x|sinxdx的值等于（　�。�

• A． $\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$
• B． $\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$-$\frac{π}{4}$
• D． $\frac{π}{2}$-1

Answer 1

分析 根據(jù)二倍角公式和定積分的法則計算即可．

解答 解：${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sin²$\frac{x}{2}$dx=${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cosx）dx=（$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$sinx）|${\;}_{0}^{\frac{π}{2}}$=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，
設(shè)f（x）=e^|x|sinx，
則f（-x）=e^|-x|sin（-x）=-e^|x|sinx=-f（x），
∴f（x）為奇函數(shù)，
∴${∫}_{-1}^{1}$e^|x|sinxdx=0，
故定積分${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$sin²$\frac{x}{2}$dx+${∫}_{-1}^{1}$e^|x|sinxdx=$\frac{π}{4}$-$\frac{1}{2}$，
故選A．

點評 本題考查了定積分的計算法則和奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．