Question

6．在數(shù)列{a_n}中，${a_n}={10^{\frac{n}{11}}}$，記T_n=a₁•a₂•…•a_n，則使${T_n}＞{10^5}$成立的最小正整數(shù)n=11．

Answer 1

分析 由T_n=a₁•a₂•…•a_n，根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可知：T_n=$1{0}^{\frac{1}{11}+\frac{2}{11}+\frac{3}{11}+…+\frac{n}{11}}$，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，${T_n}＞{10^5}$，即可求得$\frac{（1+n）n}{22}$＞5，即可求得n的最小正整數(shù)．

解答 解：T_n=a₁•a₂•…•a_n，
=$1{0}^{\frac{1}{11}}$•$1{0}^{\frac{2}{11}}$•$1{0}^{\frac{3}{11}}$•…•$1{0}^{\frac{n}{11}}$，
=$1{0}^{\frac{1}{11}+\frac{2}{11}+\frac{3}{11}+…+\frac{n}{11}}$，
=$1{0}^{\frac{1+2+3+…+n}{11}}$，
=$1{0}^{\frac{（1+n）n}{22}}$
∵${T_n}＞{10^5}$，
∴$\frac{（1+n）n}{22}$＞5，
∴n²+n-110＞0，解得：n＞10或n＜-11，
由n∈N*，
最小正整數(shù)為：11．
故答案為：11．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，考查同底數(shù)冪的乘法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．