【題目】設(shè)f（x）=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）=2a，f′（2）=﹣b，
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）設(shè)g（x）=f′（x）ex ， 求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

【答案】
（1）解：因?yàn)閒（x）=x3+ax2+bx+1，所以f'（x）=3x2+2ax+b．

令x=1得f'（1）=3+2a+b．

由已知f'（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=﹣3．

又令x=2得f'（2）=12+4a+b．

由已知f'（2）=﹣b，所以12+4a+b=﹣b，解得a=﹣ ．

所以f（x）=x3﹣ x2﹣3x+1，f（1）=﹣ ．

又因?yàn)閒′（1）=﹣3，

故曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣（﹣ ）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0


（2）解：g（x）=f′（x）ex=（3x2﹣3x﹣3）ex，∴g′（x）=3（x﹣1）（x+2）ex，

由g′（x）＞0，可得x＜﹣2或x＞1，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣2），（1，+∞）

由g′（x）＜0，可得﹣2＜x＜1，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣2，1）


【解析】（1）根據(jù)已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我們根據(jù)求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的公式，易求出導(dǎo)數(shù)f'（x），結(jié)合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，計(jì)算出參數(shù)a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入點(diǎn)斜式方程，即可得到曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減)．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= x3﹣2ax2+3a2x+b（a＞0）．
（1）當(dāng)y=f（x）的極小值為1時(shí)，求b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，求a的范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=loga（2x﹣1）﹣1的圖象過定點(diǎn)（1，0）；
②已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x（x+1），則f（x）的解析式為f（x）=x2﹣|x|；
③若 ，則a的取值范圍是 ；
其中所有正確命題的序號(hào)是

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[﹣4，0]上單調(diào)遞增，則有（ ）
A.f（﹣1）＞f（ ）＞f（﹣π）
B.f（ ）＞f（﹣1）＞f（﹣π）
C.f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（ ）
D.f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（ ）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax2－lnx。

（Ⅰ）當(dāng)a=時(shí)，判斷f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)f（x）≤x3+4x－lnx，在定義域內(nèi)恒成立，求a的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某學(xué)校擬建一塊周長為400m的操場如圖所示，操場的兩頭是半圓形，中間區(qū)域是矩形，學(xué)生做操一般安排在矩形區(qū)域，為了能讓學(xué)生的做操區(qū)域盡可能大，試問如何設(shè)計(jì)矩形的長和寬？

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變．假設(shè)在放射性同位素銫137的衰變過程中，其含量M（單位：太貝克）與時(shí)間t（單位：年）滿足函數(shù)關(guān)系：M（t）=M0 ，其中M0為t=0時(shí)銫137的含量．已知t=30時(shí)，銫137含量的變化率是﹣10In2（太貝克/年），則M（60）=（ ）
A.5太貝克
B.75In2太貝克
C.150In2太貝克
D.150太貝克

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a≥0）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求y=f（x）在區(qū)間（0，2]上的最大值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓的離心率為，過原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若四邊形的面積最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于且，求證：原點(diǎn)到直線的距離為定值．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案