【題目】設(shè)f（x）=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）=2a，f′（2）=﹣b，
（1）求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）設(shè)g（x）=f′（x）ex ， 求函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

【答案】
（1）解：因為f（x）=x3+ax2+bx+1，所以f'（x）=3x2+2ax+b．

令x=1得f'（1）=3+2a+b．

由已知f'（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=﹣3．

又令x=2得f'（2）=12+4a+b．

由已知f'（2）=﹣b，所以12+4a+b=﹣b，解得a=﹣ ．

所以f（x）=x3﹣ x2﹣3x+1，f（1）=﹣ ．

又因為f′（1）=﹣3，

故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y﹣（﹣ ）=﹣3（x﹣1），即6x+2y﹣1=0


（2）解：g（x）=f′（x）ex=（3x2﹣3x﹣3）ex，∴g′（x）=3（x﹣1）（x+2）ex，

由g′（x）＞0，可得x＜﹣2或x＞1，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣∞，﹣2），（1，+∞）

由g′（x）＜0，可得﹣2＜x＜1，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（﹣2，1）


【解析】（1）根據(jù)已知中f（x）=x3+ax2+bx+1，我們根據(jù)求函數(shù)導(dǎo)函數(shù)的公式，易求出導(dǎo)數(shù)f'（x），結(jié)合f'（1）=2a，f'（2）=﹣b，計算出參數(shù)a，b的值，然后求出f（1）及f'（1）的值，然后代入點斜式方程，即可得到曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可得函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)．

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【題目】已知函數(shù)f（x）= x3﹣2ax2+3a2x+b（a＞0）．
（1）當y=f（x）的極小值為1時，求b的值；
（2）若f（x）在區(qū)間[1，2]上是減函數(shù)，求a的范圍．

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【題目】給出下列命題：
①函數(shù)f（x）=loga（2x﹣1）﹣1的圖象過定點（1，0）；
②已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當x≤0時，f（x）=x（x+1），則f（x）的解析式為f（x）=x2﹣|x|；
③若 ，則a的取值范圍是 ；
其中所有正確命題的序號是

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【題目】偶函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[﹣4，0]上單調(diào)遞增，則有（ ）
A.f（﹣1）＞f（ ）＞f（﹣π）
B.f（ ）＞f（﹣1）＞f（﹣π）
C.f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（ ）
D.f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（ ）

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【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=ax2－lnx。

（Ⅰ）當a=時，判斷f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)f（x）≤x3+4x－lnx，在定義域內(nèi)恒成立，求a的取值范圍。

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A.5太貝克
B.75In2太貝克
C.150In2太貝克
D.150太貝克

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【題目】已知函數(shù)f（x）= ax2﹣（2a+1）x+2lnx（a≥0）
（1）當a=0時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求y=f（x）在區(qū)間（0，2]上的最大值．

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（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于且，求證：原點到直線的距離為定值．

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