【題目】如圖所示，在四棱錐中，底面為菱形，底面，點是上的一個動點，，.

（1）當時，求證：；

（2）當平面時，求二面角的余弦值.

【答案】（1）見證明；（2）

【解析】

(1)由已知可得PA可證平面，所以，可證平面，從而得到證明；（2）連接交于，當平面時，，以為原點，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.求平面和平面PBD的法向量，利用兩個法向量的數(shù)量積計算即可得結果.

（1）因為底面，平面，

所以

又為菱形，連接交于，所以.

又因為，平面，平面，

所以平面

又因為平面，所以，又因為

，平面，

平面，所以平面，又因為平面

所以.

（2）法一：因為平面，平面，

平面平面，

從而，

平面，又因為.以為原點，

分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.

設，，，，

設平面的法向量為

因為，，

由，，得，

令，則，.

設平面的法向量為，因為平面，

可設，

設二面角的平面角為，由圖可知為銳角，從而

法二：因為在平面中，在平面中，，

從而為二面角的平面角，

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的單調性，并指出其單調區(qū)間；

（2）若對恒成立，求的取值范圍.

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【題目】如圖，在四棱錐是平行四邊形，

（1）證明：平面平面PCD；

（2）求直線PA與平面PCB所成角的正弦值．

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【題目】選修4—4：坐標系與參數(shù)方程

已知曲線的參數(shù)方程是 （是參數(shù)， ），直線的參數(shù)方程是 （是參數(shù)），曲線與直線有一個公共點在軸上，以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）若點，，在曲線上，求的值．

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【題目】下表提供了工廠技術改造后某種型號設備的使用年限x和所支出的維修費y（萬元）的幾組對照數(shù)據：

x（年）

2

3

4

5

6

y（萬元）

1

2.5

3

4

4.5

（1）若知道y對x呈線性相關關系，請根據上表提供的數(shù)據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程；

（2）已知該工廠技術改造前該型號設備使用10年的維修費用為9萬元，試根據（1）求出的線性回歸方程，預測該型號設備技術改造后，使用10年的維修費用能否比技術改造前降低?

參考公式：，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其中.

（1）當時，求函數(shù)的極值；

（2）當時，若不等式在時恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù)，其中a，.

（1）若函數(shù)在處取得極小值，求a，b的值；

（2）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；

（3）若函數(shù)在上只有一個極值點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列的前n項和， 是等差數(shù)列，且.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；

（Ⅱ）令.求數(shù)列的前n項和.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B，及CD的中點P處，已知km,,為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO，BO，OP，設排污管道的總長為ykm．

（I）按下列要求寫出函數(shù)關系式：

①設，將表示成的函數(shù)關系式；

②設，將表示成的函數(shù)關系式．

（Ⅱ）請你選用（I）中的一個函數(shù)關系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短．

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