Question

19．已知函數f（x）=e^x-ax-1．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+b，求實數a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅲ）證明：${1^n}+{3^n}+…+{（2n-1）^n}＜\frac{{\sqrt{e}}}{e-1}{（2n）^n}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數，利用導數的幾何意義，結合曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+b，即可求實數a，b的值；
（Ⅱ）求導數，分類討論，確定函數的單調性，即可求f（x）在[0，+∞）上的最小值；
（Ⅲ）證明e^x≥x+1．取x=-$\frac{i}{2n}$，i=1，3，…，2n-1，得1-$\frac{i}{2n}$≤${e}^{-\frac{i}{2n}}$，即（$\frac{2n-i}{2n}$）ⁿ≤${e}^{-\frac{i}{2}}$，利用累加法，即可證明結論．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a，
∴f′（1）=e-a，
∵f（1）=e-a-1，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-（e-a-1）=（e-a）（x-1），即y=（e-a）x-1，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=2x+b，
∴e-a=2，b=-1，
∴a=e-2，b=-1；
（Ⅱ）解：∵f（x）=e^x-ax-1，
∴f′（x）=e^x-a
∴a≤1時，函數在[0，+∞）上單調遞增，
∴f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（0）=0；
a＞1時，f′（x）=e^x-a=0，x=lna，
∴函數在[0，lna）上單調遞減，（lna，+∞）上單調遞增，
∴x=lna時，f（x）在[0，+∞）上的最小值為f（lna）=a-alna-1；
（Ⅲ）證明：設t（x）=e^x-x-1，
則t′（x）=e^x-1，令t′（x）=0得：x=0．
在x＜0時t′（x）＜0，f（x）遞減；在x＞0時t′（x）＞0，f（x）遞增．
∴t（x）最小值為t（0）=0，故e^x≥x+1．
取x=-$\frac{i}{2n}$，i=1，3，…，2n-1，得1-$\frac{i}{2n}$≤${e}^{-\frac{i}{2n}}$，即（$\frac{2n-i}{2n}$）ⁿ≤${e}^{-\frac{i}{2}}$，
累加可得$（\frac{1}{2n}）^{n}$+$（\frac{3}{2n}）^{n}$+…+$（\frac{2n-1}{2n}）^{n}$≤${e}^{-\frac{2n-1}{2}}$+…+${e}^{-\frac{1}{2}}$=$\frac{{e}^{-\frac{1}{2}}（1-{e}^{-n}）}{1-{e}^{-1}}$＜$\frac{\sqrt{e}}{e-1}$，
∴${1^n}+{3^n}+…+{（2n-1）^n}＜\frac{{\sqrt{e}}}{e-1}{（2n）^n}$．

點評 本題考查導數的幾何意義，考查函數的單調性與最值，考查不等式的證明，綜合性強，難度大，解答的關鍵是合理地運算導數性質進行等價轉化，是壓軸題．