Question

8．如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點．
（1）求證：MN⊥AB，MN⊥CD；
（2）求MN的長．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接AN，BN，CM，DM，△BCD與△ACD是邊長為a的等邊三角形，CN=ND=$\frac{1}{2}$a，可得BN=AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可證明．
（2）由BN=AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，AM=BM=$\frac{1}{2}$a，利用勾股定理即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，連接AN，BN，CM，DM．
∵△BCD與△ACD是邊長為a的等邊三角形，CN=ND=$\frac{1}{2}$a，
∴BN=AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
在△ABN中，BN=AN，AM=BM，
∴MN⊥AB，同理可得：MN⊥CD．
（2）解：由BN=AN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
AM=BM=$\frac{1}{2}$a，
∴MN=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a．

點評 本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．