Question

10．已知橢圓C：x²+2y²=4．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）設(shè)O為原點(diǎn)，若點(diǎn)A在橢圓C上，點(diǎn)B在直線y=2上，且OA⊥OB，試判斷直線AB與圓x²+y²=2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）化橢圓方程為標(biāo)準(zhǔn)式，求出半長軸和短半軸，結(jié)合隱含條件求出半焦距，則橢圓的離心率可求；
（2）設(shè)出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0，由OA⊥OB得到$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，用坐標(biāo)表示后，把t用含有A點(diǎn)的坐標(biāo)表示，然后分A，B的橫坐標(biāo)相等和不相等，寫出直線AB的方程，然后由圓x²+y²=2的圓心到AB的距離和圓的半徑相等，說明直線AB與圓x²+y²=2相切．

解答 解：（1）橢圓C：x²+2y²=4，即為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
可得a=2，b=$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{2}$，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）直線AB與圓x²+y²=2相切．
證明如下：
設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₀，y₀），（t，2），其中x₀≠0．
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即tx₀+2y₀=0，
解得t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
當(dāng)x₀=t時(shí)，y₀=-$\frac{1}{2}$t²，代入橢圓C的方程，得t=±$\sqrt{2}$．
故直線AB的方程為x=±$\sqrt{2}$，
圓心O到直線AB的距離d=$\sqrt{2}$．
此時(shí)直線AB與圓x²+y²=2相切．
當(dāng)x₀≠t時(shí)，直線AB的方程為y-2=$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}-t}$（x-t），
即（y₀-2）x-（x₀-t）y+2x₀-ty₀=0．
圓心O到直線AB的距離d=$\frac{|2{x}_{0}-t{y}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-2）^{2}+（{x}_{0}-t）^{2}}}$．
又x02+2y02=4，t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
故d=$\frac{|2{x}_{0}+\frac{2{{y}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}|}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{{y}_{0}}^{2}+\frac{4{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}}+4}}$=$\frac{|\frac{4+{{x}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}|}{\sqrt{\frac{{{x}_{0}}^{4}+8{{x}_{0}}^{2}+16}{2{{x}_{0}}^{2}}}}$=$\sqrt{2}$．
此時(shí)直線AB與圓x²+y²=2相切．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了圓與圓錐曲線的綜合，訓(xùn)練了由圓心到直線的距離判斷直線和圓的位置關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查了計(jì)算能力和邏輯思維能力，屬于難題．