Question

【題目】已知棱臺(tái)，平面平面，，，，D，E分別是和的中點(diǎn)。

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）求與平面所成角的余弦值。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

(I) 取中點(diǎn)，可得平面，則，利用中位線的關(guān)系可得，從而可得平面，即可證明結(jié)論；(II)解法一，取中點(diǎn)，可得平面平面，平面平面,所以點(diǎn)E在平面的射影在DG上，故為與平面所成角，然后解三角形即可求解；解法二，構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求解.

解：（Ⅰ）如圖，取中點(diǎn)，連接.

因?yàn)?/span>，所以.

由平面平面，平面平面,

得平面，

所以，又，且，所以.

因?yàn)?/span>，所以平面，所以.

（Ⅱ）解法一：如圖，取中點(diǎn)，連接，

則可知，所以平面即是平面.

因?yàn)?/span>平面，所以平面平面，

則為與平面所成角.

令，又由，，

可得，則，

所以.

解法二：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于平面的直線，和，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

令，則，

所以，.

設(shè)平面的法向量，與平面所成角為.

而，，所以即

令，則，所以，

故

，

又與平面所成的角為銳角，所以.