Question

【題目】設常數(shù)，函數(shù)

（1）當時，判斷在上單調(diào)性，并加以證明；

（2）當時，研究的奇偶性，并說明理由；

（3）當時，若存在區(qū)間使得在上的值域為，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在上是單調(diào)遞增.證明見解析（2）見解析；（3）

【解析】

（1）由函數(shù)的單調(diào)性定義即可證明。

（2）由函數(shù)的奇偶性定義即可證明。

（3）首先證明函數(shù)的單調(diào)性，當時證明函數(shù)在上單調(diào)遞增，即，解關(guān)于一元二次方程即可；

同理當時，求出單調(diào)區(qū)間，當函數(shù)是單調(diào)遞減時，則代入化簡即可求解。

解：（1）當時，

任取

則

∵

∴

∴

∴

∵，

∴，

∴，

∴

即：

∴在上是單調(diào)遞增.

（2）①當時，

∵

∴為偶函數(shù)

②當時，

，則

當且時，的定義域為

定義域不關(guān)于原點對稱

∴為非奇非偶函數(shù)

當時，，的定義域為

定義域關(guān)于原點對稱

∴為奇函數(shù).

（3）①當時，定義域為

∵單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞減

∴在上單調(diào)遞增

由題意得：

∴

∴，是一元二次方程：

的兩個不等的正根

∴

②當時，定義域為

∵當時，的值域為

∴，

當時，

∵單調(diào)遞增，∴單調(diào)遞減

∴在上單調(diào)遞減

∴

∴

∵

∴

∴

綜上所述：的取值范圍是.