Question

已知圓C的方程可以表示為x²+y²-2x-4y+m=0，其中m∈R．
（1）若m=1，求圓C被直線x+y-1=0截得的弦長(zhǎng)
（2）若圓C與直線l：x+2y-4=0相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二元二次方程表示圓的條件,直線與圓的位置關(guān)系

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）求出圓心到直線的距離，即可求圓C被直線x+y-1=0截得的弦長(zhǎng)；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．與圓的方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)關(guān)系，再利用OM⊥ON，x₁x₂+y₁y₂=0即可解出m．

解答： 解：（1）m=1，配方得（x-1）²+（y-2）²=4，圓心到直線的距離為

|1+2-1|

2

=

2

所以圓C被直線x+y-1=0截得的弦長(zhǎng)為2

4-2

=2

2

（2）設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
直線代入圓的方程得5x²-8x+4（m-4）=0，
所以x₁+x₂=

8

5

，x₁x₂=

4(m-4)

5

因?yàn)镺M⊥ON，所以x₁x₂+y₁y₂=0，
所以

5

4

×

4(m-4)

5

-

8

5

+4=0，
所以m=

8

5

，此時(shí)△＞0

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于中檔題．