Question

如圖，三棱錐V-ABC中，△VAB是邊長為2的正三角形，點(diǎn)V在平面ABC上的射影D在AB邊上，△ABC是以B為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形．
（Ⅰ）求證：面VAB⊥面VBC；
（Ⅱ）求二面角B-VA-C的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得面VAB⊥面ABC，BC⊥面VAB，由此能證明面VAB⊥面VBC．
（Ⅱ）過B作BE⊥VA于E，連結(jié)CE，∠CEB是二面角B-VA-C的平面角，由此能求出二面角B-VA-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵VD⊥平面ABC，VD?平面VAB，
∴面VAB⊥面ABC，交線為AB，
∵BC⊥AB，∴BC⊥面VAB，
又BC?平面VAB，
∴面VAB⊥面VBC．
（Ⅱ）解：過B作BE⊥VA于E，連結(jié)CE，
由（Ⅰ）知，VA⊥CE，
∴∠CEB是二面角B-VA-C的平面角，
∵AB=2，△VAB是正三角形，
∴BE=

3

，又BC=AB=2，
∴tan∠CEB=

2 3

3

，
∴cos∠CED=

21

7

．
∴二面角B-VA-C的余弦值是

21

7

．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．