【題目】已知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別為λ,6,3λ,前n項(xiàng)和為Sn,且Sk=165.
(1)求λ及k的值;
(2)設(shè)bn=,且數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn,證明:≤Tn<1.
【答案】(1)10(2)見(jiàn)解析
【解析】試題分析:(1)由等差中項(xiàng)得λ+3λ=12,解得λ的值,再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得,解得k的值(2)以算代證:先求和,因?yàn)?/span> ,所以利用裂項(xiàng)相消法求和得,再證不等式
試題解析: (1)∵λ,6,3λ成等差數(shù)列,∴λ+3λ=12,∴λ=3.
∴等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3,公差d=3,
故前n項(xiàng)和Sn=,由Sk=165,即=165,解得k=10.
(2)∵bn===-,
∴T=b1+b2+…+bn=++…+=1-=.
由于Tn=是關(guān)于n的增函數(shù),故Tn≥T1=,所以≤Tn<1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,過(guò)拋物線上一點(diǎn),作兩條直線分別交拋物線于,,當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí):
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若直線在軸上的截距時(shí),求面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】命題實(shí)數(shù)滿足(其中),命題實(shí)數(shù)滿足
(1)若,且為真,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若是的充分不必要條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓方程+=1(a>b>0),橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為4,過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),AB=2.
(1)求橢圓方程;
(2)若M,N是橢圓C上的點(diǎn),且直線OM與ON的斜率之積為﹣,是否存在動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0),若=+2,有x02+2y02為定值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:對(duì)任意的,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等比數(shù)列{an}的公比為q,其前n項(xiàng)的積為Tn,并且滿足條件a1>1,a49a50-1>0,(a49-1)(a50-1)<0.給出下列結(jié)論:
①0<q<1;②a1a99-1<0;③T49的值是Tn中最大的;④使Tn>1成立的最大自然數(shù)n等于98.
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),已知橢圓的離心率為,拋物線的準(zhǔn)線方程為.
(1)求橢圓和拋物線的方程;
(2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn),若在以為直徑的圓的外部,求直線的斜率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了對(duì)某課題進(jìn)行研究,用分層抽樣方法從三所高校的相關(guān)人員中,抽取若干人組成研究小組,有關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)下表(單位:人)
高校 | 相關(guān)人數(shù) | 抽取人數(shù) |
A | 18 | |
B | 36 | 2 |
C | 54 |
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)若從高校抽取的人中選2人作專題發(fā)言,求這二人都來(lái)自高校的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:數(shù)列對(duì)一切正整數(shù)均滿足,稱數(shù)列為“凸數(shù)列”,以下關(guān)于“凸數(shù)列”的說(shuō)法:
①等差數(shù)列一定是凸數(shù)列;
②首項(xiàng),公比且的等比數(shù)列一定是凸數(shù)列;
③若數(shù)列為凸數(shù)列,則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列;
④若數(shù)列為凸數(shù)列,則下標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成的子數(shù)列也為凸數(shù)列.
其中正確說(shuō)法的序號(hào)是_____________.
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