Question

已知圓A：（x+1）²+y²=1和圓B：（x-1）²+y²=9，求與圓A外切而內(nèi)切于圓B的動(dòng)圓圓心P的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由兩圓的方程分別找出圓心A與B的坐標(biāo)，及兩圓的半徑r₁與r₂，設(shè)圓P的半徑為r，根據(jù)圓P與A外切，得到圓心距PA等于兩半徑相加，即PA=r+1，又圓P與B內(nèi)切，得到圓心距PB等于兩半徑相減，即PB=5-r，由PA+PB等于常數(shù)2a，AB等于常數(shù)2c，利用橢圓的基本性質(zhì)求出b的值，可得出橢圓方程．

解答： 解：由圓A：（x+1）²+y²=1和圓B：（x-1）²+y²=9，
得到A（-1，0），半徑r₁=1，B（1，0），半徑r₂=3，
設(shè)圓P的半徑為r，
∵與圓A外切而內(nèi)切于圓B，
∴PA=r+1，PB=3-r，
∴PA+PB=4，又AB=2c=2，
∴P的軌跡是橢圓，a=2，c=1，
∴b=

3

，
∴圓心P的軌跡方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓與圓的位置關(guān)系，橢圓的基本性質(zhì)，以及動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，兩圓的位置關(guān)系由圓心角d與兩圓半徑R，r的關(guān)系來判斷，當(dāng)d＜R-r時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=R-r時(shí)，兩圓內(nèi)切；當(dāng)R-r＜d＜R+r時(shí)，兩圓相交；當(dāng)d=R+r時(shí)，兩圓外切；當(dāng)d＞R+r時(shí)，兩圓外離．