數(shù)列{bn}(n∈N*)是遞增的等比數(shù)列,且b1+b3=5,b1b3=4.?dāng)?shù)列{an}滿足an=log2bn+3.
(Ⅰ)求數(shù)列{bn},{an}的通項(xiàng)公式:
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,是否存在正整數(shù)n,使得數(shù)列{
4Sn-11n
n
}
前n項(xiàng)和為Tn滿足Tn-(n-1)2=4025?若存在,求出n的值;若不存在,請說明理由.
考點(diǎn):數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(I)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,由于b1+b3=5,b1b3=4.b1<b3,解得b1=1,b3=4.利用b3=b1q2,q>0,解得q.可得bn.利用數(shù)列{an}滿足an=log2bn+3.即可得出.
(II)利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可得Sn,可得
4Sn-11n
n
=2n-1.可得Tn=n2.假設(shè)存在正整數(shù)n,使得數(shù)列{
4Sn-11n
n
}
前n項(xiàng)和為Tn滿足Tn-(n-1)2=4025,解出即可.
解答: 解:(I)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,
∵b1+b3=5,b1b3=4.b1<b3,解得b1=1,b3=4.
∴4=1×q2,q>0,解得q=2.
bn=2n-1
∵數(shù)列{an}滿足an=log2bn+3,
∴an=n-1+3=n+2.
(II)Sn=
n(3+n+2)
2
,
4Sn-11n
n
=
2n(n+5)-11n
n
=2n-1.
∴Tn=
n(1+2n-1)
2
=n2
假設(shè)存在正整數(shù)n,使得數(shù)列{
4Sn-11n
n
}
前n項(xiàng)和為Tn滿足Tn-(n-1)2=4025,
∴n2-(n-1)2=4025,
∴2n-1=4025,解得n=2013.
∴存在正整數(shù)n=2013,使得數(shù)列{
4Sn-11n
n
}
前n項(xiàng)和為Tn滿足Tn-(n-1)2=4025.
點(diǎn)評:本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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已知
a
、
b
是平面向量,若
a
⊥( 
a
-2 
b
 )
,
b
⊥( 
b
-2 
a
 )
,則
a
b
的夾角是( 。
A、
π
6
B、
π
3
C、
3
D、
6

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極坐標(biāo)系中,圓ρ2+2ρsinθ=3的圓心到直線ρsinθ+ρcosθ-1=0的距離是
 

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設(shè)命題p:非零向量
a
,
b
,|
a
|=|
b
|是(
a
+
b
)⊥(
a
-
b
)的充要條件:命題q:平面上M為一動點(diǎn),A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是存在角α,使
MA
=sin2α
MB
+cos2α
MC
,下列命題①p∧q;②p∨q③¬p∧q;④¬p∨q.
其中假命題的序號是
 
.(將假命題的序號都填上)

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①如果a∥α,b∥α,那么a∥b;            
②如果a∥β,a?α,b?β,那么a∥b;
③如果 α⊥β,a?α,那么 a⊥β;      
④如果a⊥β,a∥b,b?α,那么α⊥β
其中正確命題的序號是( 。
A、①B、②C、③D、④

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已知向量
a
=(sin2x+1,1),
b
=(2,1-4sin2x)
,其中x∈R,函數(shù)f(x)=
a
b

(1)求f(x)的對稱中心;
(2)若f(θ)=3,其中-
π
2
≤θ≤
π
2
,求tanθ的值.

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正方體ABCD-A1B1C1D1中,P、M為空間任意兩點(diǎn),且
PM
=
PB1
+6
AA1
+7
BA
+4
A1D1
,則M點(diǎn)一定
 
平面BA1D1內(nèi).(填“在”或“不在”)

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