Question

13．已知實數(shù)x、y、z滿足x+y+z=0，x²+y²+z²=1，則x的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件得到y(tǒng)+z=-x，y²+z²=1-x²，再根據(jù)柯西不等式（1•y+1•z）²≤（1+1）•（y²+z²），求出x的取值范圍，進(jìn)而得到最大值．

解答 解：因為，x、y、z滿足x+y+z=0，x²+y²+z²=1，
所以，y+z=-x，y²+z²=1-x²，
根據(jù)二維形式的柯西不等式得，
（1•y+1•z）²≤（1+1）•（y²+z²），
即（-x）²≤2（1-x²），
整理得，3x²≤2，
解得x∈[-$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，
因此，x的最大值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題主要考查了柯西不等式在求最值問題中的應(yīng)用，體現(xiàn)了構(gòu)造與整體的解題思想，屬于中檔題．