Question

18．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面積為S，點(diǎn)D，E，F(xiàn)在側(cè)棱AA₁，BB₁，CC₁上，且AD=h₁，BE=h₂，CF=h₃，求幾何體ABC-DEF的體積．

Answer 1

分析 將幾何體ABC-DEF分割成三棱錐E-ABC和四棱錐E-ACFD，過(guò)B作AC的高BM，則四棱錐底面為梯形，體積為$\frac{1}{3}•$$\frac{1}{2}$（AD+CF）•AC•BM=$\frac{1}{3}$（AD+CF）•S，而三棱錐的體積為$\frac{1}{3}$S•BE

解答 解：過(guò)B作BM⊥AC，垂足為M，連結(jié)AE，CE．
則S=$\frac{1}{2}$AC•BM，S_梯形ACFD=$\frac{1}{2}$（AD+CF）•AC=$\frac{1}{2}$（h₁+h₃）•AC．
則V_{三棱錐E-ABC}=$\frac{1}{3}$S_△ABC•BE=$\frac{1}{3}$Sh₂，
∵A₁A⊥平面ABC，BM?平面ABC，
∴A₁A⊥BM，∵BE∥平面ACFD，
∴V_{四棱錐E-ACFD}=$\frac{1}{3}$S_梯形ACFD•BM=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$（h₁+h₃）•AC•BM=$\frac{1}{3}$S（h₁+h₃）．
∴幾何體ABC-DEF的體積=V_{三棱錐E-ABC}+V_{四棱錐E-ACFD}=$\frac{1}{3}$S（h₁+h₂+h₃）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不規(guī)則幾何體的體積計(jì)算，將其分解成幾個(gè)規(guī)則幾何體是關(guān)鍵．