Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（3a+1）x+3alnx．
（Ⅰ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（4，f （ 4 ））處的切線的斜率小于0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）對任意的a∈[1，3]，x₁，x₂∈[1，3]（x₁≠x₂），恒有$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|＜k|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|$，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)切線的斜率小于0，求出a的范圍即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為f（x₁）-$\frac{k}{{x}_{1}}$＜f（x₂）-$\frac{k}{{x}_{2}}$對任意的a∈[1，3]，1≤x₁＜x₂≤3恒成立．令g（x）=f（x）-$\frac{k}{x}$，通過函數(shù)的單調(diào)性求出k的范圍即可．

解答 ．解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{（x-3a）（x-1）}{x}$，（x＞0），
若曲線f（x）在點(diǎn)（4，f（4））處的切線的斜率小于0，
則f′（4）=$\frac{3（4-3a）}{3}$＜0，∴a＞$\frac{4}{3}$．
則由f′（x）＞0得0＜x＜1或x＞3a；由f′（x）＜0得1＜x＜3a．
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，1），（3a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3a）． …（4分）
（Ⅱ）∵對任意的a∈[1，3]，∴3a∈[3，9]，由（Ⅰ）知f（x）在[1，3]上為減函數(shù)．
不妨設(shè)1≤x₁＜x₂≤3，則f（x₁）＞f（x₂），$\frac{1}{{x}_{1}}$＞$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∴原不等式可化為：f（x₁）-f（x₂）＜k（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$），
即f（x₁）-$\frac{k}{{x}_{1}}$＜f（x₂）-$\frac{k}{{x}_{2}}$，對任意的a∈[1，3]，1≤x₁＜x₂≤3恒成立．…（6分）
令g（x）=f（x）-$\frac{k}{x}$，∴對任意的a∈[1，3]，1≤x₁＜x₂≤3有g(shù)（x₁）＜g（x₂）恒成立，
∴g（x）在閉區(qū)間[1，3]上為增函數(shù)，
∴g′（x）≥0對任意的a∈[1，3]，x∈[1，3]恒成立（等號成立的x值不連續(xù)）．
而g′（x）=$\frac{{x}^{3}-（3a+1{）x}^{2}+3ax+k}{{x}^{2}}$≥0，
化簡得x³-（3a+1）x²+3ax+k≥0，
即（3x-3x²）a+x³-x²+k≥0，其中a∈[1，3]，x∈[1，3]．
∵x∈[1，3]，∴（3x-3x²）≤0，只需3（3x-3x²）+x³-x²+k≥0，
即x³-10x²+9x+k≥0對任意x∈[1，3]恒成立．      …（9分）
令h（x）=x³-10x²+9x+k，x∈[1，3]，
則h′（x）=3x²-20x+9＜0，x∈[1，3]恒成立，
∴h（x）在閉區(qū)間[1，3]上為減函數(shù)，
則h（x）_min=h（3）=k-36≥0，解得k≥36．     …（12分）

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性問題，難點(diǎn)是對導(dǎo)函數(shù)中參數(shù)的討論問題．