Question

已知離心率為的橢圓C₁：（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，橢圓C₁與拋物線(xiàn)C₂：y²=-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為
-2．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）如果直線(xiàn)l：y=kx+m與橢圓相交于P₁、P₂兩點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)P₁F₁與P₂F₁的傾斜角分別為α，β，當(dāng)α+β=π時(shí)，求證：直線(xiàn)l必過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）由于，，a²=2b²
又因y²=-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，y²=2，代入，
∴a²=8
所以橢圓方程為
（2）聯(lián)立與y=kx+m得到（2k²+1）x²+4mkx+2m²-8=0
設(shè)直線(xiàn)P₁F₁與P₂F₁的傾斜角分別為α，β，
當(dāng)α+β=π時(shí)，若設(shè)
k₁=tanα，k₂=tanβ=tan（π-α）=-tanα=-k₁，
∴k₁+k₂=0
，
k₁+k₂=+=
=
=
所以 m=4k
直線(xiàn)方程為 y=kx+4k=k（x+4），
故直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) （-4，0）
分析：（1）利用橢圓的離心率的值，得到橢圓中參數(shù)的關(guān)系，利用橢圓C₁與拋物線(xiàn)C₂：y²=-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2，代入拋物線(xiàn)的方程，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程求出參數(shù)值，即得到橢圓的方程．
（2）將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，得到交點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足的條件，將已知條件α+β=π轉(zhuǎn)化為兩條直線(xiàn)的斜率滿(mǎn)足k₁+k₂=0，將斜率用坐標(biāo)表示，得到 m=4k，代入直線(xiàn)的方程，判斷出直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的相交的有關(guān)問(wèn)題，一般的思路是將直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立，得到關(guān)于應(yīng)該未知數(shù)的方程，利用韋達(dá)定理來(lái)解決．屬于難題，計(jì)算量大．