Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），直線l：y=kx+m（k≠0，m≠0），直線l交橢圓C與P，Q兩點(diǎn)．

（Ⅰ）若k=1，橢圓C經(jīng)過點(diǎn)（，1），直線l經(jīng)過橢圓C的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，求橢圓方程；

（Ⅱ）若k=，b=1，且kOP，k，kOQ成等比數(shù)列，求三角形OPQ面積S的取值范圍．

 

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）(0,1)

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知可知,解得所以橢圓方程為;（Ⅱ）設(shè),成等比數(shù)列,則,化簡(jiǎn)得,將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)得,由韋達(dá)定理可得,解得

,取等號(hào)時(shí)要舍去,所以面積的取值范圍是(0,1).

試題解析：（Ⅰ）由已知可知,解得

所以橢圓方程為;

（Ⅱ）由已知得直線l：y=x+m（m≠0），橢圓C：+y2=1（a＞1）,

設(shè),成等比數(shù)列,則,化簡(jiǎn)得

將直線方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)得

由韋達(dá)定理可得,解得

,

取等號(hào)時(shí)(舍去)

所以面積的取值范圍是(0,1).

考點(diǎn)：1.橢圓方程與性質(zhì);2.直線與橢圓的位置關(guān)系和弦長(zhǎng)公式;3.基本不等式