Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= x3﹣ （m+3）x2+（m+6）x，x∈R．（其中m為常數(shù)）
（1）當m=4時，求函數(shù)的極值點和極值；
（2）若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有兩個極值點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數(shù)的定義域為R

當m=4時，f（x）= x3﹣ x2+10x，

∴f′（x）=x2﹣7x+10，令f′（x）＞0，解得x＞5或x＜2．令令f′（x）＜0，解得2＜x＜5列表

x	（﹣∞，2）	2	（2，5）	5	（5，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗		↘		↗

所以函數(shù)的極大值點是x=2，極大值是 ；函數(shù)的極小值點是x=5，極小值是

（2）解：f′（x）=x2﹣（m+3）x+m+6，要使函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）有兩個極值點，則 ，

解得m＞3．

故實數(shù)m的取值范圍為（3，+∞）

【解析】（1）根據到導數(shù)和函數(shù)的極值的關系即可求出．（2）y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上有兩個極值點，等價于f′（x）=0在（0，+∞）有兩個正根，問題得以解決．
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和函數(shù)的極值與導數(shù)，掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．